Composer でインストールできるライブラリは、https://packagist.org/ から検索できます。
試しに「log」で検索してみます。
monolog/monolog と言うのが見つかりました。
これをインストールしてみます。
monolog/monolog の詳細ページを見ると、1.23.0 が最新バージョンとなっていました。
これを Composer を使ってインストールするには、以下のようにします。

php composer.phar require monolog/monolog

実際にやってみます。
まず C:/pleiades/xampp/htdocs 配下に、プロジェクト用のフォルダを用意します。
普通にフォルダを作成するだけでOKですが、もし今後 Eclipse を使う場合は、 Eclipse でインポートする必要が出てくるため、 先に Eclipse で新規のPHPプロジェクトを作成してください。
プロジェクトを作成すると、htdocs 配下にプロジェクト名のフォルダが作成されます。
今回は test にしたので、C:/pleiades/xampp/htdocs/test/ が作成されています。

次に cmd_for_php.bat でコマンドプロンプトを開いて以下のコマンドを実行します。

cd C:/pleiades/xampp/htdocs/test/
composer require monolog/monolog

正常に実行できると、以下のようなフォルダ構成になります(Eclipseのファイルは除く)。
これでパッケージのインストールは完了です。

フォルダ構成

C:/pleiades/xampp/htdocs/test
├─ composer.json
├─ composer.lock
└ vendor
   ├─ composer
   ├─ monolog
   ├─ psr
   └─ autoload.php

composer.json は、以下のようになっています。

{
    "require": {
        "monolog/monolog": "^1.23"
    }
}

試しに、monolog を使ってみます。
下記の php ファイルを作成します。

C:/pleiades/xampp/htdocs/test/test.php

<?php
  require_once 'vendor/autoload.php';

  use Monolog\Logger;
  use Monolog\Handler\StreamHandler;

  $logger = new Logger('test');
  $stream = new StreamHandler('test.log');
  $logger->pushHandler($stream);
  $logger->debug('debug');
?>
OK

apache を起動して、 http://localhost/test/test.php にアクセスすると、test.log が作成されます。

Composer でインストールしたパッケージを使う場合、 最初に vendor/autoload.php を読み込みます。
あとは使いたいクラスを use を使って指定するだけで、 自動的にクラスを定義したファイルが読み込まれます。
自分で require_once などで読み込む必要はありません。

Composer を使ってパッケージをインストールすると composer.json が作成されますが、
これを使ってパッケージをインストールすることができます。
新しい環境で同じパッケージをインストールする場合に便利です。

試してみます。
まず、vendorフォルダ、composer.lock を削除します。composer.json は残します。
次に cmd_for_php.bat でコマンドプロンプトを開いて以下のコマンドを実行します。

cd C:/pleiades/xampp/htdocs/test/
composer install

実行すると、またインストール時と同様に、vendorフォルダと composer.lock が作成されます。

composer update で、composer.json に書かれているパッケージをアップデートしてくれます。

試してみます。
古いバージョンの Monolog をインストールするため、 testフォルダ配下の vendorフォルダ、composer.json、composer.lock を削除します。
Monolog の古いバージョンをインストールします。
最後に「:バージョン」をつけると、バージョンを指定してインストールすることができます。

composer require monolog/monolog:1.15.0

インストールされたバージョンを確認するために、 バージョン情報が書かれたファイルを探します。
test/vendor/monolog/monolog/CHANGELOG.md に履歴情報が書かれてました。
先頭が 1.15.0 となっているので、指定した古いバージョンがインストールされていることがわかります。

次に以下のコマンドを実行します。

composer update
または
composer update monolog/monolog

すると、最新バージョンがあるにも関わらず、

Loading composer repositories with package information
Updating dependencies (including require-dev)
Nothing to install or update
Generating autoload files

と言うメッセージが表示され、アップデートすべきものがないと言われます。
先ほど確認した CHANGELOG.md ファイルを見ても、アップデートされた形跡はありません。

composer.json を確認すると、以下のようになっています。

{
    "require": {
        "monolog/monolog": "1.15.0"
    }
}

バージョンを指定しないでインストールした場合は、
「"monolog/monolog": "^1.23"」のように、
バージョンの前にキャレット( 顔文字の目にあたる部分(^^;) )が付いていましたが、
今回は付いていません。

試しに、「^」を付けて、composer update を実行してみます。

{
    "require": {
        "monolog/monolog": "^1.15.0"
    }
}

Loading composer repositories with package information
Updating dependencies (including require-dev)
Package operations: 0 installs, 1 update, 0 removals
  - Updating monolog/monolog (1.15.0 => 1.23.0): Loading from cache
Writing lock file
Generating autoload files

正しく 1.23.0 にアップデートされたようです。
CHANGELOG.md を見ると、確かに最新バージョンの履歴情報が追記されています。

どうやら、バージョンを指定してパッケージをインストールすると、
update をしてもバージョンが上がらないようです。

ちなみに、インストール時に「composer require monolog/monolog:1.*」のようにワイルドカードでバージョンを指定することも可能です。
この場合、composer.json にも "monolog/monolog": "1.*" と書かれるため、 composer update をすることで、常に最新の状態にすることができます。
但し、常に最新の状態にすることが良いとは限らないため、注意が必要です。

インストールしたパッケージをアンストールする場合は、以下のコマンドを実行します。

composer remove ベンダー名/パッケージ名

例えば、monolog を削除する場合は、以下のようにします。

composer remove monolog/monolog